FASORES O NÚMEROS COMPLEJOS
Un fasor es una
representación gráfica de un número complejo que se utiliza para representar una oscilación,
de forma que el fasor suma de varios fasores puede representar la magnitud y fase de la oscilación resultante de la
superposición de varias oscilaciones en un proceso de interferencia.
Los
fasores se utilizan directamente en ingeniería eléctrica, óptica, ingeniería de telecomunicaciones y acústica.
La longitud del fasor da laamplitud y el ángulo entre el mismo y el eje-x la fase angular.
Debido a las propiedades de la matemática de oscilaciones, en electrónica los
fasores se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario de circuitos en
AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento
de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e y tiene diferentes significados físicos.
Operaciones básicas con números
complejos: Suma en forma binómica. Multiplicación y división en polar.
Respetando las posibilidades que nos
dan las matemáticas, que son muchas más, a la hora de operar, cuando debamos
sumar ó restar, operaremos en binómica. Para la multiplicación y la división,
en forma polar, de la manera que ahora comentamos.
Suma en
forma binómica
La suma en forma binómica, se hará sumando por un
lado las parte reales (valores del eje X de los fasores a sumar) y por otro las
imaginarias (valores del eje Y de los fasores a sumar). De esta forma
obtendremos un nuevo número complejo en forma binómica, con su parte real y su
parte imaginaria.
Ejercicio : Sumar las siguientes impedancias:
Z1 =R1+XLj=10+16j ()
Z2 =R2-XCj=10-6j ()
Solución:
ZE = Z1 + Z2
=(10+16j)+(10-6j)=(20+10j)()
ZE=RE+XLEj=(20+10j)=22,36〈26,56°()
Si
nos fijamos, al sumar obtenemos la forma binómica de la impedancia total o
equivalente del circuito serie ZE que formarían Z1
y Z2. Es posible realizar dicha suma de forma gráfica.
Recordamos que para sumar vectores de forma gráfica, basta con llevar uno a
continuación de otro, de forma que el vector suma está entre el origen del
primer vector (origen de coordenadas en nuestro caso) y el extremo o punta del
último sumado. Hemos representado el vector suma, o nuestro fasor de color
rojo.
Multiplicación
en forma polar
La multiplicación la haremos en forma polar,
multiplicando módulos, y sumando ángulos.
Ejercicio :
La impedancia Z1 =R+XLj=20+10j () es recorrida por una
intensidad de valor I1 =IX+IYj=9,195-4,596j (A). Calcular la tensión
del generador.
Solución: Aplicamos la Ley de Ohm, que es igual
que en corriente continua, salvo el hecho de que está la Z en lugar de la R
(ver punto 9). Además las operaciones son con fasores. Por tanto, pasamos a
polar la intensidad y la impedancia, para aplicar la Ley de Ohm, operando de la
forma descrita, multiplicando módulos y sumando ángulos:
I1
=IX+IYj=9,20-4,60j (A)=10,29〈-26,56° (A)
Z1
=R+XLj=20+10j ()=22,36〈26,56°()
V = I Z =10,29-26,56° (A)x 22,36〈26,56°()=230 (V)〈0°
Nota: De conectarse un amperímetro, mediría 10,29
amperios eficaces, que es el valor del módulo o longitud del vector intensidad,
obtenido al pasar a polar. Recordad que operaremos siempre con valores
eficaces.
División en
forma polar
La división en forma polar se realizará dividiendo
los módulos de los fasores y restando los ángulos. El resultado estará en forma
polar, que podremos pasarla a binómica.
Ejercicio :
Un receptor tiene una impedancia Z1
=R+XLj=10+6j ()
y es alimentado por una tensión de 230 V, 50 hz. Calcular la intensidad que
circula por dicho receptor, y pasarla a binómica.
Solución:
Necesitamos aplicar la Ley de Ohm (ver punto 9),
para lo cual la tensión y la impedancia deben estar en forma polar. La tensión
en forma polar la consideramos en el instante en que pasa por 0° con tendencia
creciente. Por tanto tenemos:
Solución:
Necesitamos aplicar la Ley de Ohm (ver punto 9),
para lo cual la tensión y la impedancia deben estar en forma polar. La tensión
en forma polar la consideramos en el instante en que pasa por 0° con tendencia
creciente. Por tanto tenemos
Z =R+XLj=10+6j ()=Z〈=11,66〈30,96°()
Ug =VX+VYj=230+0j (V)=Vg〈=230〈0°(V)
I=UgZ =230〈0°(V)11,66〈30,96°(Ω)=19,73〈-30,96°()
Problemas:
1) Hallar Z en un receptor R-L ,sabiendo que está en serie y:
CODIFICACIÓN :
# include <iostream>
# include <stdlib.h>
using namespace std ;
void sumaDeComplejos ( int R , int & XL ) ;
int main ()
{
int parteReal [ R ] ;
int parteIma [ XL] ;
int resulReal ;
int resulIma ;
char * numeros [R + XL] = { "Primer" , "Segundo" , "Tercer" } ;
cout << "\n\t ============================================= " ;
cout << "\n\t\t\t SUMA DE COMPLEJOS " ;
cout << "\n\t =============================================\n\n " ;
for ( int i = 0 ; i < 3 ; i ++ )
{
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
cout << "\n Parte Real del " << numeros [ 10 ] << " Numero : " ;
cin >> parteReal [ R ] ;
cout << "\n Parte Imaginaria del " << numeros [ 20 ] << " Numero : " ;
cin >> parteIma [ XL ] ;
}
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
sumaDeComplejos ( parteReal [ R ] , parteIma [ X ] ) ;
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
cout << "\n Resultado Parte Real : " << Re ;
cout << "\n Resultado Parte Imaginaria : " << Im ;
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
Z = R + jXL
cout << " Z ES EL VECTOR DE IMPEDANCIA
cout << "\n\n\n" ;
system ( "pause" ) ;
return 0 ;
}
2) Hallar “ Z” un receptor R-C, formado por una resistencia
de 10 Ω en serie con condensador de 20 Ω
CODIFICACIÓN:
# include <iostream>
# include <stdlib.h>
using namespace std ;
void restaDeComplejos ( int R , int & XC ) ;
int main ()
{
int parteReal [ R ] ;
int parteIma [ XC] ;
int resulReal ;
int resulIma ;
char * numeros [R + XC] = { "Primer" , "Segundo" } ;
cout << "\n\t ============================================= " ;
cout << "\n\t\t\t RESTA DE COMPLEJOS " ;
cout << "\n\t =============================================\n\n " ;
for ( int i = 0 ; i < 3 ; i ++ )
{
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
cout << "\n Parte Real del " << numeros [ 10 ] << " Numero : " ;
cin >> parteReal [ R ] ;
cout << "\n Parte Imaginaria del " << numeros [ 20 ] << " Numero : " ;
cin >> parteIma [ XC ] ;
}
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
sumaDeComplejos ( parteReal [ R ] , parteIma [ XC ] ) ;
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
cout << "\n Resultado Parte Real : " << Re ;
cout << "\n Resultado Parte Imaginaria : " << Im ;
cout << "\n ------------------------------------------------------ " ;
Z = R - jXC
cout << " Z ES EL VECTOR DE IMPEDANCIA ";
cout << "\n\n\n" ;
system ( "pause" ) ;
return 0 ;
}
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